Excel FFTで信号処理を進める – 信号処理の基本原理

音声や振動のデータを目の前にしたとき、その中に隠れたリズムやパターンを見つけ出したいと思ったことはありませんか？複雑なデータを理解するための第一歩は、周波数の世界に踏み込むことです。

専門的なソフトウェアがなくても大丈夫です。身近なExcelを使えば、フーリエ解析の基本を手軽に体験できます。高価なツールを購入する前に、まずはあなたの手元にあるもので挑戦してみましょう。

この記事では、FFTの基本概念から、Excelでの実行手順、結果の読み解き方までを丁寧に解説します。工学やデータ分析に携わるあなたの、実用的なスキルアップをしっかりサポートします。*画像はイメージです。

このセクションの要点

• Excelを使って信号処理の基本を学ぶことができます。
• フーリエ解析はデータの周波数成分を分析する手法です。
• 専門ツールがなくても手軽に実践できます。
• 基本概念から応用的な内容まで段階的に学べます。
• 実際のデータ分析事例を通じて理解を深められます。

はじめに: ExcelとFFT解析の基本

複雑な波形データを理解するための鍵は、その信号が持つ様々な周波数成分を分解することにあります。この分解作業を可能にする数学的な手法が、フーリエ解析の核心です。

FFTとは何か

信号処理において、離散フーリエ変換（DFT）はデータの周波数情報を抽出する基本技術です。しかし、この計算はデータ数が増えると非常に時間がかかります。

この課題を解決したのが高速フーリエ変換（FFT）です。データの個数を2のn乗個に制限することで、計算速度を劇的に向上させるアルゴリズムとなっています。

フーリエ変換の本質は、複雑な信号を、振幅と位相を持つ単純な正弦波の組み合わせとして表現することです。これにより、データの隠れた特性を明らかにすることができます。

ExcelにおけるFFTの位置付け

Microsoft Excelには、「分析ツール」アドインの中にフーリエ解析機能が標準で備わっています。このため、専用の高価なソフトウェアがなくても、手軽に信号解析を始めることが可能です。

この機能は工学系の専門家だけでなく、ビジネスパーソンにも広く利用されており、音声や振動データの分析を身近なものにしています。

離散フーリエ変換（DFT）と高速フーリエ変換（FFT）の比較

FFT解析の結果は最初、複素数の形式で得られます。これを振幅やパワースペクトルに変換することで、より直感的で実用的な情報として活用できるようになります。

excell fft を用いた信号処理の基本原理

様々な周波数が混ざり合った信号から、それぞれの成分を分離して観察するためにフーリエ変換が用いられます。この数学的手法を理解することで、データに隠れたパターンを明確に見つけ出すことができます。

FFTの数式とその意味

フーリエ解析には複数の数式表現が存在します。主に3つの公式が使われていますが、違いはデータ個数Nに関する係数の位置のみです。

Excelでは2番目の公式を採用しています。これは1/Nの計算を順変換時に省略し、逆変換時に適用することで処理効率を向上させた形式となっています。

数式中のパラメータとして、N（データ個数）、t（全データに含まれる波の周期数）、x（データのインデックス番号）が重要な役割を果たします。これらの値が各周波数成分を特定する鍵となります。

FFTの結果として得られる複素数は、実数部と虚数部から構成されています。これが各周波数成分の振幅と位相情報を含んでいることになります。

データ個数を2のn乗個に制限することで、計算量を大幅に削減できます。通常の離散フーリエ変換と比較して、処理速度が劇的に向上します。

周波数tの値は、使用したデータ全体に何周期分の波が含まれているかを表します。これを実際の周波数に変換するにはサンプリング時間との関係を考慮する必要があります。

Excel内での計算プロセスは自動化されていますが、基本原理を理解することで結果の解釈がより確実に行えるようになります。

ExcelでFFTを実行する準備

Excelでのフーリエ変換をスムーズに行うための準備手順をご紹介します。適切な準備が分析の成功を左右します。

データの準備と注意点

分析を始める前に、データの整理が重要です。連続した数値データを1列に配置してください。

データ準備の要件比較

分析ツールの有効化手順

標準設定では「分析ツール」が非表示になっています。ファイル→オプション→アドイン→設定の順に進みます。

「分析ツール」にチェックを入れて有効化してください。データタブから「データ分析」を選択します。

ホームタブの機能とは別なので注意が必要です。フーリエ解析をクリックして実行できます。

FFT結果の読み解きと応用

複素数の扱い方

解析結果は「4-1.65685424949238i」のような複素数形式で表示されます。実数部と虚数部から構成されており、末尾の「i」が虚数単位を表しています。

実数データを解析した場合、tとN-tの位置に複素共役のペアが現れます。この特性により、実質的にはN/2までの結果を使用すれば十分です。

振幅・位相の求め方

各周波数成分の振幅を求めるには、IMABS()関数で複素数の大きさを計算します。正規化処理が必要で、t=0とt=N/2では|F(t)|/N、それ以外では2倍する必要があります。

位相角はIMARGUMENT()関数で求められます。結果はラジアン単位なので、DEGREES()関数で度数法に変換すると理解しやすくなります。

パワースペクトルの理解

パワースペクトルは振幅スペクトルを2乗した値です。a²+b²として計算でき、平方根計算を省略できる利点があります。

スペクトル種類の比較

周波数軸を作成するには、周波数分解能を計算し、0からナイキスト周波数までを等間隔に配置します。これで実用的なスペクトルグラフが完成します。

ExcelでFFTを使ったデータ分析の事例

実際のデータ分析を体験することで、理論的な理解が深まります。矩形波は最もシンプルなテスト信号の一つです。この解析例を通じて、実践的なスキルを身につけましょう。

矩形波の解析例

4番目と28番目、12番目と20番目の値は複素共役の関係にあります。これは実数データの特徴を正しく反映しています。

正規化処理のポイント

解析結果を実際の物理量に変換するには、正規化が不可欠です。周波数分解能は測定時間の逆数で求められます。

「正規化処理は信号解析の肝となるステップです。適切な処理により、元の信号の真の姿が浮かび上がります。」

振幅の正規化では、直流成分と交流成分で処理が異なります。直流成分(t=0)はデータ点数Nで割り、交流成分はN/2で割った後2倍します。

正規化処理の比較

データ点数の半分以降はエイリアシングの影響を受けるため、解析から除外します。これで信頼性の高いスペクトル図が完成します。

結論

データ分析の新たな可能性が、あなたの手元で広がっています。Excelを使ったフーリエ解析をマスターすることで、専門的なソフトウェアがなくても信号処理を実践できます。

データ準備から結果の解釈まで、一連の流れを理解できました。複素数の扱いも、関数を使えば簡単です。実用的なスキルが確実に身についています。

この技術は音響分析や振動診断など、様々な分野で活用できます。データの隠れた周期性を見つけ出す力が、あなたの武器になります。

さらに深く学びたい方は、サンプリング定理など発展的なテーマに挑戦してみましょう。周波数解析の世界は、まだまだ広がっています。